grupy cykliczne sąpodzbiorem wszystkich grup o szczególnie łatwym do zrozumienia struktury . W szczególności , przy czym grupy cykliczne mogą być reprezentowane przez zestaw numerów z arytmetyki modulo . Na przykład Z15 może być utworzona z liczb od 0 do 14, w 16 cyklu 1 , 17 równej 2 i tak dalej. Te grupy cykliczne mieć matematykę wszystkim ich własne . Szczególnie interesujące pytanie , co daje głęboki wgląd w licencjackich klas matematycznych , co podzbiory tych grup stanowią same grupy . Instrukcje
1
współczynnik rzędu grupy. Na przykład, jeśligrupa ma 18 elementów , ich kolejność jest 18: 18 = 2 x 3 x 3. Jeżeligrupa posiada 30 elementów , ich kolejność jest 30: 2 x 3 x 5.
2
Określ wszystkie możliwe numery, które można podzielić równo na zlecenie grupy , oparte na rozkładzie wykonanej w kroku 1. w grupie kolejności 18 , dałoby to 2, 3, 6 i 9. w grupie zamówienia 30 , daje to 2 , 3, 5 , 6, 10 i 15.
3
Rozumiem, że każdy podgrupa grupy cyklicznej muszą być rzędu współczynnik celu głównego grupy. Na przykład, w przypadku cyklicznej grupy 18, w celu prawidłowego podgrupy — lub podgrupy , które jest większe niż jeden element , a mniejszy niż 18 elementów — musi być rzędu 2 , 3, 6 lub 9, ponieważ są one tylko liczby , która może czynnika w 18. Dodatkowo , każda podgrupa podgrupę grupy cyklicznej , sam musi byćgrupą cykliczną .
4
Znajdź najmniejszy element każdego znaleźć w Etapie 2 w ilościach. w grupie , aby 18 z dodatkiem 2 jestnajmniejszym elementem aby 9 ( od 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 ) 3 jestnajmniejszy element porządku 6 ( od 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18) , 6 jestnajmniejszym elementem rzędu 3 ( od 6 + 6 + 6 = 18), 9 jestnajmniejszym elementem uporządkowaniu 2 ( od 9 + 9 = 18 ) .
5
Określić podgrup utworzonych przez te elementy . W cyklicznej grupy celu 18podgrupy 2 jest generowane przezgrupę {0, 2 , 4 , 6, 8 , 10, 12 , 14, 16} . Podgrupa generowane przez 3 jestgrupa {0, 3 , 6, 9 , 12, 15} , a generowane przez 6 {0 , 6, 12} . Cykliczny podgrupę rzędu 2 jestgrupa {0, 9} . Dzięki połączeniu właściwości opisanych w punkcie 3 , jest zawsze dokładnie jedna podgrupa grupy cyklicznej , dla każdego numeru , który można podzielić równo na zlecenie grupy .